문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 관성 텐서 (문단 편집) == 관성 텐서의 도출 == 우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로부터 도출해보자. [[파일:나무_관성텐서_유도_수정.png|width=190&align=center]] 그림과 같이 고정 좌표계인 [math( x_{i}' )]계와, 강체의 질량 중심 [math( \textrm{O} )]를 원점으로 하고 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) [math( x_{i} )]계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 [math( \boldsymbol{\omega} )]로 회전한다 하면, 아래가 성립한다. 자세한 것은 [[비관성 좌표계]] 문서 참조. ||<:>[math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )]|| 이때 각 항의 의미는 아래와 같다. * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]: '''고정 좌표계'''에서 측정한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도. * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} )]: '''고정 좌표계'''에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도. * [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}} )]: '''회전 좌표계'''에서 측정한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도. * [math( \displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )]: 회전 좌표계의 회전에 의한 질점 [math( m_{\alpha} )]의 속도. 이때, 강체는 정의상 각 질점의 위치는 회전 좌표계에 대해 변하지 않는다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v}_{\alpha} \qquad \qquad \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}\equiv \mathbf{V} )] }}} 라 정의하면 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{v}_{\alpha}=\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} )] }}} 따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이므로 다음이 성립한다. ||<:>[math(\begin{aligned}\displaystyle T&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}({\mathbf{v}}_{\alpha} {\mathbf{v}}_{\alpha} )=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) (\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) ]\\&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2}+\mathbf{V} \left ( \boldsymbol{\omega} \times \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \right)\end{aligned})]|| 이때, [math( \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} )]는 질량중심을 나타내는 벡터에 강체의 전체 질량을 곱한 것이고, [math( \mathbf{r}_{\alpha} )]가 질량중심을 시점으로 하는 벡터임에 따라 [math( 0 )]이 되므로 우변의 제3항은 [math( 0 )]이 된다. 따라서 강체의 운동 에너지는 두 항으로 분리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} )] }}} 이때, [math( \sum_{\alpha} m_{\alpha} \equiv M )]으로 강체의 전체 질량이 됨에 따라 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T= \frac{1}{2} MV^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} )] }}} 이때 다음을 각각 강체의 '''병진 운동 에너지'''와 '''회전 운동 에너지'''라 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{2} MV^{2} \equiv T_{\textrm{trans}} \qquad \qquad \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} \equiv T_{\textrm{rotating}} )] }}} 이때, [math( (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} = (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) )]를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[\omega^{2} r_{\alpha}^{2}-(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_{\alpha})^{2}] )] }}} 이때, 각 벡터의 성분을 밝혀 적으면, ||<:>[math( \displaystyle \sum _{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}\left [ \left ( \sum _{i} \omega_{i}^{2} \right ) \left ( \sum _{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-\left ( \sum _{i} \omega_{i}x_{\alpha i} \right ) \left ( \sum _{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ] )]|| 이다. 여기서 [math( x_{\alpha i} )]는 [math( \alpha )]번째 질점의 [math( x_{i} )]좌표를 뜻한다. 이때, [[크로네커 델타]]를 사용하면, [math( \sum_{j} \delta_{ij} \omega_{j}=\omega_{i} )]가 되므로 위 식을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \sum_{ij}\frac{1}{2} \omega_{i}\omega_{j} \left \{ \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] \right \} )] }}} 이때 다음을 '''관성 텐서(inertia tensor)'''로 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] )] }}} 관성 텐서는 2차 텐서이며, 행렬 꼴로 나타내면 다음과 같다. ||<:>[math( \pmb{\mathsf{I} }=\begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) &\displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{2} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{1} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{1} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{2} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{bmatrix})]|| 관성 텐서는 대칭행렬이기 때문에 [math( I_{ij}=I_{ji} )]가 성립하므로, [math( I_{11},\,I_{22},\,I_{33},\,I_{12},\,I_{13},\,I_{23} )]만 구하면 되며, 대각 성분인 [math( I_{ii} )]를 [math( x_{i} )]축 주위의 관성 모멘트라 하고, 그 외의 성분인 [math( I_{ij}\,(i \neq j) )]를 관성곱이라 한다. 연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수 [math( \rho(\mathbf{r}) )]를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle I_{ij} \equiv \int \rho(\mathbf{r}) \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{ k}^{2} \right )-x_{ i}x_{ j} \right ] dV )] }}} 따라서 이를 이용하면 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }\boldsymbol{\omega} )] }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기